공간

1. Eigenvalue와 Eigenvector의 개념

우리는 Ax=b라는 식을 풀어왔다. 자꾸 Ax=b라는 식을 풀다 보니, Ax라는 것이 어떻게 생겼는지 궁금해지지 않는가?

조금 더 이 의문을 구체적으로 생각해보면...

x라는 벡터의 벡터 스페이스가 아래의 그림과 같은 원을 그린다고 하자. 

그런데 이 x라는 벡터 스페이스의 앞에 A를 곱해 줌으로서 A라는 Linear Transformation을 해 주는 거다. 그러면 Ax는 어떤 모양이 될텐데 그걸 우리는 어떤 모양인지 알 수가 없다.

하지만, 아래와 같이 x를 이루고 있던 일부 벡터(파란색 화살표)들은 

A transformation 이후에도 그 방향은 변하지 않고 크기만 변할지도 모른다.

이런 파란색 벡터를 eigen vector라고 부르고, 이 eigen vector의 변환 전과 변환 후의 크기값의 비율을  eigen value라고 한다.

보통 이 eigen value와 eigen vector 값을 알면 A를 알 수가 있다고 한다.

2. Eigen Vector와 Value의 계산

eigen vector와 eigen value를 구하기 위해서 우리는 invariant property를 이용해서 해를 찾고자 하는 시도와 유사한 방법을 사용할 것이다.

그래서 eigen vector와 eigen value를 구하기 위한 자세한 방법을 이야기 하기전에 invariant property를 구하는 방법을 살펴보려고 한다.

예를 하나 들어보자.

y''-3y'-4y=0의 해를 구하고 싶다. 그러기 위해 미분해도 변하지 않는 것중에 해가 있을 것이라고 가정해보자.그런 y는 가 있지 않은가?

그래서 우리는 y에 를 대입하여 위의 식을 푼다

그러니까

여기서

이전에 invariant property를 구할 때 위의 같은 방식을 썼듯이 이제 eigen vector와 eigen value의 값을 구하기 위해서는 다음과 같은 가정을 한다

A변환이 있은 후 Ax의 모양을 예측하기 위해서 "A변환 이후에도 방향이 변하지 않는 x 벡터가 존재" . 따라서 이런 벡터 x들은 Ax=λx를 만족함을 알 수 있다. (λ는 임의의 상수).

이 식에서 구한  λ를 eigen value,  non-zero vector x를 eigen vector라고 부른다.

Ax-λx=0

(A-λ)x=0

인데 x는 non-zero vector이니까 det(A-λ)=0을 풀어야 한다.

따라서 det(A-λ)=0는 characteristic equation이라고 볼 수 있다.

예제를 하나 풀어보자

이다! 우리 characteristic equation을 풀어보자!!

eigen value값을 2개나 구했다.

각각의 eigen value에 대해서 우리는 eigen vector의 예를 찾을 수 있다.

1.

여기의 x에다가

같은 걸 넣으면 딱 맞을 것 같다~

그러니까 λ=1일때 eigen vector의 짝은 

이다.

2.

여기의 x에다가

같은 걸 넣으면 딱 맞을 것 같다~

그러니까 λ=5일때 eigen vector의 짝은 

이다.

(그래프 추가할 예정....)

<EIGEN VECOR 와 EIGEN VALUE에서 주의해야 할 점>

Matrix의 형태와 eigen value의 개수는 무관하다.

n by b 행렬인 경우 eigen vector가 n개 나오면 후에 계산할 때 좋지만, 반드시 n개가 나오는 것은 아님.

n by n 행렬의 characteristic equation이 n차 방정식으로 나오니까 마치 eigen value가 n개 이어야 할 것 같지만, 그렇지 않다는 걸 주의해야 합니다~!!

따라서 eigen vector의 개수는 계산해 봐야 안다.

Generalized eigen vector는 이 부족한 수를 채우기 위해 만든 개념이지만 널리 쓰이지는 않는다.

2. Eigenvalue의 성질

A: n by n 이면의 개수는 최대 n개 이다.

즉,  만 존재 가능.

det(A-λI)는 n차 다항식 이다.

다음은 언제나 성립한다.

즉, eigen value들의 합은 행렬 A의 trace이고 (trace란 diagonal에 위치한 모든 원소의 합)

eigen value들의 곱은 행렬 A의 determinant이다.

- 2번성질의 증명

det(A- λI)는 n 차 다항식은 일반식으로 아래와 같이 표현할 수 있고

여기서

은 λ가 0일때 구할 수 있다.

λ가 0이라 함은, Ax=0이라는 뜻이고, x는 0이 아니니까 det(A)=0이다.

따라서 det(A)=이다.

-성질1에 대한 증명

해가 

이니까