공간

1. Linear Independence(중요개념)

어떤 임의의 벡터 집합 

에 대해서 

이 되는 유일한 조건이 

이면 벡터()들은 서로 Linearly Independent 하다.

c가 모두 0이어야 한다면,  벡터 들은 서로  Linearly dependent 하다

그러면 c가 모두 0이 아니라는 것은 무슨 뜻일까?

예를 들어  

이 0이 아니라고 해보자.

그러면

이 된다.  

은 다른 벡터 ()로 표현이 가능하다는 것이다.

그러니까 벡터들이 dependent하다는 것은, 말 그대로 다른 벡터들에게 의존하여 표현될 수 있다는 것이다.

이런 벡터는 하나정도 빠져도 다른 벡터들로 조합해서 표현하면 되니까 벡터를 표현하는데는 별로 지장이 없다!

벡터들이 independent하다는 것은 반대로, 모든 벡터들이 다른 벡터들로는 표현될 수 가 없는 것이다. 

하나라도 빠지면 절대로 안된다. 하나라도 빠지면 다른 벡터로는 어떻게 조합해도 대체할 방법이 없어서 큰일이 난 상황이 된다

(갑자기 딴 소리인데, 우리도 삶에서 사람이라는 집합에서 independent한 set에 포함되면 아무도 우리를 대체할 수 없게 될까?)

2. Spanning a Subspace

벡터 스페이스 V가 모든

의 조합(combination)을 표현할 수 있으면 이 벡터들이 벡터 스페이스 V를 Span한다고 한다.

그러니까, 벡터 스페이스에 속한 모든 벡터들을 특정 벡터들의 집합으로 표현할 수 있다면 이 특정 벡터들의 집합이 벡터 스페이스를 Span 하는 것이다. 

즉, 벡터 스페이스 V에서 나온 모든 (Every) 벡터 v 는 w로 표현될 수 있다.   

(c는 계수)

3. Basis for a vector space

벡터 스페이스 V의 basis는 아래의 조건을 만족한다

1. 벡터들은 서로 Linearly independent하다.

2. 벡터들은 V를 Span한다.

이렇게 앞에서 배운 두개의 조건을 만족하면 Basis라고 보면 된다.

어떤 벡터 스페이스를 표현하는 최소한의 벡터 집합!!!!이다~

당연히 basis는 여러개가 될 수 있다. 그러니까 문제에서 어떤 벡터스페이스를 여러가지의 basis로 표현 가능하다는 것이다.

4. Dimension(차원)

Definition. Any two bases for a vector space V contain the same number of vectors. This number, which is shared by all bases and expresses the number of "degree of freedom" of the space, is the dimension of V.

해석하면. 아까 어떤 벡터 스페이스의 Basis 는 여러개가 있을 수 있다고 했는데, 그렇다고 해도 변하지 않는 것이 있다. 그것은 basis 안에 속해있는 벡터의 개수이다. 이 벡터의 개수를 바로 Dimension(차원)이라고 한다는 것이다.

여기서 어떤 사람들은 "왜! 무슨 근거로! 벡터 스페이스의 bases들의 원소 개수가 같다는 거야!" 라고 소리칠 수 있다.

증명이 있다.

Contradiction을 이용해서 증명할 거다.

1. w의 수가 v의 수보다 많다고 해보자. (n>m) 

2. v가 basis를 형성하므로, 반드시 그 스페이스를 Span해야 한다. 

3. 그러니까 모든는 v로 표현 가능해야 한다.

4. 만약  이라면, 이것은 을 첫번째 열로 가지는 A행렬의 VA곱으로 표현 가능하다. 즉, 아래와 같은 식으로 표현이 가능하다는 말이다.

이니까..

이다.

A의 원소에 뭐가 채워질지는 모르지만 A는 m by n 행렬이다.  앞에서  (n>m)이라고 가정했으므로 A는 넓은 직사각형 형태의 matrix이다.

5.  그러면 A는 pivot수가 m개 이고, 오른쪽에 한 열은 pivot이 없게 될 것이다. 즉,핵심은 여기! Ax=0는 x가 0 벡터 아니더라도 존재하게 된다. 

6. VAx=0, Wx=0이다. W에 있는 애들을 x라는 벡터의 0이 아닌원소를 가지고 잘 조합했더니 0이 나왔다. 그러면 W는 Basis가 아니다. 

7. 비슷하게 m>n일때도 그럴거다.

그러니까 m=m일때만 말이 된다!